2.7 Estadísticos F robustos: Brown-Forsythe y Welch

Cuando no se cumple el supuesto de homogeneidad de varianzas puede utilizarse el estadístico de Brown-Forsythe:

\[ F_{BF} = \frac{\sum n_j(\bar{Y}_j - \bar{Y})^2}{\sum (S_{j}^2 - n_jS_{j}^2/N)} \]

Este estadístico se distribuye según el modelo de probabilidad F con J-1 y gl grados de libertad. Y gl se obtiene mediante la siguiente expresión:

\[ gl = \frac{1}{\sum k_{j}^2/(n_j - 1)} \;\; con \; k_{j}^2 = \frac{S_{j}^2 - n_jS_{j}^2/N}{\sum (S_{j}^2 - n_jS_{j}^2/N)} \]

La propuesta de Welch es otra alternativa cuando no se cumple el supuesto de homogeneidad de varianzas. Su fórmula es:

\[ F_{W} = \frac{\sum w_j(\bar{Y}_j - \bar{Y^{*}})^2/(J-1)}{1+2(J-2)\Lambda/3} \] donde

\[ w_j = \frac{n_j}{S_j^{2}} \]

\[ \bar{Y}^{*} = \sum{w_j}{\bar{Y}}/\sum{w_j} \] \[ \Lambda = \frac{3\sum{[1-(w_j/\sum{w_j})]}^{2}/(n_j-1)}{J^{2} - 1} \]

2.7.1 Comparaciones a posteriori

Existen diferentes métodos para realizar las comparaciones a posteriori en el caso de que no se cumpla la homogeneidad de varianzas. Cuando los tamaños muestrales son grandes varios autores recomiendan el método de Games y Howell (Pardo & San Martin, 2010):

\[ DMS_{GH} = q_{J,gl; 1-\alpha_F}\sqrt{(S_{j}^2/n_{j} + S_{j'}^2/n_{j'})/2} \]

donde q es el valor de la distribución del rango estudentizado.

Si los tamaños muestrales son pequeños se recomienda usar la DMS propuesta por Dunnet:

\[ DMS_{T3-Dunnet} = q_{J,gl; 1-\alpha_F}\sqrt{S_{j}^2/n_{j} + S_{j'}^2/n_{j'}} \]

donde q es el valor de la distribución del rango máximo estudentizado. Este estadístico esta basado en el estadístico T2 de Tamhane. La diferencia es que el estadístico T2 utiliza la distribución T de Student y la desigualdad de Sidak para controlar la tasa de error.