3.1 Modelo ANOVA 1 factor de medidas repetidas (A1MR)
La estrategia de análisis para este tipo de diseños si se cumple el supuesto de normalidad de los residuales parte del siguiente modelo:
\[ Y_{ij} = \mu + s_i + \alpha_{j} + \epsilon_i \]
donde \(Y_{ij}\) es la puntuación del sujeto i en la condición j; \(\mu\) es la media total del diseño; \(s_i\) son efectos aleatorios del individuo i (\(s_i = \mu_i - \mu\)) y se suponen distribuidos según una ley normal (NID(0,\(\sigma^2\))), \(\alpha_j = \mu_j - \mu\) son efectos fijos constantes para cada nivel de tratamiento independientemente de los sujetos; \(\epsilon_i\) es \(Y_{ij} - s_i-\alpha_{j}\) son efectos residuales aleatorios específicos para cada puntuación. En este modelo se asumen que las covarianzas entre los tratamientos y entre los individuos no existen.
La hipótesis nula de este modelo es:
\[ H_0: \alpha_1 = \alpha_1 = \cdots = \alpha_J =0 \]
Por tanto, el modelo asociado a esta hipótesis (modelo reducido) es el siguiente:
\[ Y_{ij} = \mu + s_i + \epsilon_i \]
Los estimadores por máxima verosimilitud de los componentes del modelo son:
\[ \hat{\mu} = \bar{Y}_{++} \]
\[ \hat{\alpha}_j = \bar{Y}_{+j} - \bar{Y}_{++} \]
\[ \hat{s}_i = \bar{Y}_{i+} - \bar{Y}_{++} \]
La variabilidad total de este estudio puede descomponerse en distintos elementos: 1) varianza intersujetos: debida a los tratamientos, 2) varianza intrasujeto debida a cada uno de los sujetos, y 3) varianza del error la que se da entre cada puntuación y sus correspondientes medias marginales.
Estas tres fuentes de variación pueden calcularse mediante las siguientes expresiones:
- Varianza intersujetos:
\[ MC_A = n\sum_{j}(\bar{Y}_{+j}-\bar{Y})^2/(J-1) \]
- Varianza intrasujetos:
\[ MC_S = J\sum_{i}(\bar{Y}_{i+}-\bar{Y})^2/(n-1) \]
- Varianza del error: \[ MC_E = \sum_{i}\sum_{j}(Y_{ij}- \bar{Y}_{i+} - \bar{Y}_{+j}-\bar{Y})^2/[(J-1)(n-1)] \]
Al igual que ocurría en el diseño de 1 factor completamente aleatorizado, puede compararse la variabilidad debida a los tratamientos con la variabilidad debida al error mediante el estadístico F:
\[ F = \frac{MC_A}{MC_E} \sim \mathcal{F}(j-1,[(j-1)(n-1)]) \]
donde \(\mathcal{F}\) es la distribución teórica. Con este estadístico podemos contrastar que las J medias son iguales.