4.1 Modelo estadístico
El modelo que se pretende contrastar es el siguiente: \[ y_{ijk} =\mu+\alpha_i+\beta_j+ +(\alpha\beta)_{jk}+\epsilon_{ijk} \left\{\begin{array}{ccrccr} i&=& 1,&2,&\dots,&a \\ j &=&1,&2,&\dots,&b \\ k &=&1,&2,&\dots,&n \\ \end{array}\right. \]
donde \(y_{ijk}\) es la medida del sujeto i en la condición jk, \(\mu\) es una constante (la media global de todas las medidas), \(\alpha_i\) es el efecto del tratamiento \(a_i\), \(\beta_j\) es el efecto del tratamiento \(b_j\), \((\alpha\beta)_{jk}\) es el efecto de la combinación de tratamientos \(a_jb_k\), y \(\epsilon_{ijk}\) es el término del error. Por tanto, en este diseño interesa estudiar dos efectos principales (efecto de A y efecto de B) y un efecto de interacción.
Los efectos principales se definen de la siguiente forma:
\[ \alpha_j = \mu_{j+} - \mu_{++} \]
\[ \beta_k = \mu_{+k} - \mu_{++} \]
donde \(\mu_{j+}\) es la media marginal de la fila j, \(\mu_{+k}\) es la media de la columna k y \(\mu_{++}\) es la media total. En total, hay tantos coeficientes como filas (o columnas) haya en el diseño sometidos a la siguiente restricción:
\[ \sum_{j=1}^{a} \alpha_j = 0 \]
\[ \sum_{k=1}^{b} \beta_k = 0 \]
El término de la interacción viene definido como:
\[ (\alpha\beta)_{jk}= \mu_{jk} - (\mu_{++} + \alpha_{j} + \beta_k) \]
O lo que es lo mismo, este efecto es la diferencia de la media de la casilla del diseño menos la media total, el efecto de la fila j y menos el efecto de la columna k. Al igual que en el caso de los efectos principales, la suma de los efectos interactivos por filas o por columnas suman cero:
\[ \sum_{j=1}^{a} \alpha\beta_{jk} = 0 \]
\[ \sum_{k=1}^{b} \alpha\beta_{jk} = 0 \]
Las estimaciones mínimo cuadráticas de los coeficientes son:
\[ \alpha_j = \bar{Y}_{j+} - \bar{Y}_{++} \]
\[ \beta_k = \bar{Y}_{+k} - \bar{Y}_{++} \]
\[ (\alpha\beta)_{jk}= \bar{Y}_{jk} - \bar{Y}_{j} - \bar{Y}_k +\bar{Y}_{++} \]
Los efectos principales tienen (a - 1) y (b - 1) grados de libertad; la interacción tiene (a - 1) x (b - 1) grados de libertad.
En este modelo se asume que existen JK poblaciones (una por cada grupo) que se distribuyen normalmente con la misma varianza. Por tanto, podemos distinguir dos tipos de variabilidad: 1) La varianza entregrupos y 2) la varianza intragupo. La única diferencia con el diseño factorial de 1 solo factor es que la varianza entregrupos puede descomponerse en el efecto de A, el de B y en el de interacción AB.
La estimación de la varianza intragrupo se realiza promediando las varianzas de cada grupo. A este término se le denomina media cuadrática del error (MCE):
\[ MCE = \bar{S}_{jk}^2 = \sum_{j}\sum_{k}S_{jk}^2/jk \]
La estimación de la varianza entresujetos se realiza comparando la media de cada grupo con la media total y se denomina media cuadrática entresujetos (MCI):
\[ MCI = n\sum_{j}\sum_{k}(\bar{Y}_{jk} - \bar{Y}_{++})^2/(jk-1) \]
La descomposición de esta varianza se hace para cada uno de sus componentes. Para el factor A sería:
\[ MCA = nk\sum_{j}(\bar{Y}_{j+} - \bar{Y}_{++})^2/(j-1) \]
Para el factor B sería:
\[ MCB = nj\sum_{k}(\bar{Y}_{+k} - \bar{Y}_{++})^2/(k-1) \]
Par el factor de la interacción será:
\[ MC_{AB} = n\sum_{j}\sum_{k}(\bar{Y}_{ij} - \bar{Y}_{j+}- \bar{Y}_{+k} +\bar{Y}_{++})^2/[(j-1)(k-1)] \]